咳咳，少?gòu)U話直接開(kāi)始吧。

【資料圖】

1.引子

這一次的討論要從一個(gè)求和開(kāi)始。

這個(gè)樣貌一看就是一個(gè)級(jí)數(shù)的和。

抓到一個(gè)級(jí)數(shù) ，應(yīng)當(dāng)先判斷它收不收斂。

不過(guò)我都拿出來(lái)討論了，當(dāng)然是收斂的啦。這瓜保熟!

額，先說(shuō)明一下符號(hào)。

n!!的“!”不是感嘆號(hào)，兩個(gè)“!”連用是雙階乘。

意思的話，你看前面給的式子應(yīng)該也看懂了。

n!!指的是，不超過(guò)n且與n同奇偶性的正整數(shù)的乘積。

這類問(wèn)題我想很多人都見(jiàn)過(guò)。常規(guī)的操作是構(gòu)造冪級(jí)數(shù)然后求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的和。

即構(gòu)造

求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)呢，往往利用逐項(xiàng)求積或者逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法。

這里我們要做的應(yīng)該是把分母消掉，所以應(yīng)該逐項(xiàng)求導(dǎo)。

哦，這里我們可以看到，如果我們?cè)趆'(x)里提出一個(gè)x，那么h(x)就會(huì)再現(xiàn)。

ok,這樣的話，我們h（x）就是上面那個(gè)微分方程的解了。

那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)微分方程怎么解呢？

首先判斷類型，這個(gè)微分方程是一個(gè)一階非齊次線性常微分方程。

沒(méi)錯(cuò)吧。這里的h（x）就是y,P(x)=-x,Q(x)=1

而這類微分方程的求解我們是有公式的。

就這玩意。

但是公式里有待定的數(shù)C(大多數(shù)微分方程的解都有很多很多個(gè)，所以才會(huì)有待定的數(shù)C）

但對(duì)我們而言，C是能夠被確定的。

因?yàn)閔(0)你看一下，是不是0??？

所以，把上面的條件代入就可以了。

結(jié)果是

你問(wèn)我為什么不把積分號(hào)里面的玩意積出來(lái)？

拜托，那個(gè)結(jié)果無(wú)法用初等函數(shù)表示的。

繼續(xù)咱們的思路，現(xiàn)在當(dāng)x=1的時(shí)候h(1)就是答案了。這里你會(huì)發(fā)現(xiàn)

看過(guò)

的朋友或許會(huì)對(duì)這個(gè)結(jié)果表示熟悉。

因?yàn)檫@里又出現(xiàn)鐘形曲線。不過(guò)對(duì)這期專欄來(lái)說(shuō)，這個(gè)結(jié)果并不夠有趣。

2.一個(gè)“有趣”連分式

第二部分咱們來(lái)考量一個(gè)和前面的微分方程有點(diǎn)像的玩意。

為了方便，我們可以令y=f（x）

小標(biāo)題提到了“連分式”，那我們就來(lái)試試用它構(gòu)造一個(gè)連分式。

和前面差不多，我們對(duì)y“逐項(xiàng)求導(dǎo)”。

y'=xy-1

y''=xy'+1y

y'''=xy''+2y

y''''=xy'''+3y

......

這里你或許看不出什么，那如果我兩邊同時(shí)除以x邊上的那個(gè)導(dǎo)數(shù)呢?

y'/y=x-1/y

y''/y=x+1y/y'

y'''/y''=x+2y'/y''

y''''/y'''=x+3y''/y'''

......

發(fā)現(xiàn)了嗎？他們頭尾相等了。

這不就可以迭代了。

第一個(gè)式子里的y格格不入，而且它可以承擔(dān)前面類似和函數(shù)的作用。

所以我們變形一下全部的式子。把最右邊那一列移到等號(hào)左邊，第一列移到右邊，然后分子分母顛倒以把y單獨(dú)拎出來(lái)。

這樣的話就是

......

于是我們就可以迭代了。

兩個(gè)負(fù)號(hào)抵消就是

（你可以試著倒過(guò)來(lái)，由這個(gè)連分式得到前面的微分方程。如果你有什么自然的方法也歡迎發(fā)到評(píng)論區(qū)）

3.所以。。。"有趣"在哪里？

啊對(duì)啊，所以有趣在哪里呢？

前面那個(gè)微分方程我們依然能解的對(duì)吧。

解出來(lái)的結(jié)果有點(diǎn)恐怖哦。

如果我們把h（x）和f（x）加起來(lái)，那么積分部分剛好就拼在一起了。

而這個(gè)積分在[0，+∞）的結(jié)果是可以利用轉(zhuǎn)成二重積分算出來(lái)的。

結(jié)果是

那么就有

當(dāng)x=1時(shí),就有

而e的1/2次方就是根號(hào)e

h(1)和f(1)我們前面有結(jié)論,代入得

這個(gè)式子是由拉馬努金（又是那個(gè)恐怖如斯的男人）提出的。

這個(gè)式子既有級(jí)數(shù)又有連分?jǐn)?shù)，還有πe根號(hào)，屬實(shí)是把各個(gè)要素湊齊了。